2024年注冊會計師預(yù)習(xí)階段已經(jīng)開始，《財管》科目已經(jīng)進入第一周的預(yù)習(xí)計劃。上一篇文章，東奧帶您了解了“復(fù)利終值和現(xiàn)值”，本文我們一起預(yù)習(xí)一下“年金終值和現(xiàn)值”。兩者概念相近，且都涉及公式內(nèi)容，本文將加入部分圖解，更便于同學(xué)們捋順邏輯，一起看一下吧。

年金終值和現(xiàn)值

1．年金的含義

年金是指等額、定期的系列收付款項。

2．普通年金終值和現(xiàn)值

（1）普通年金的含義。

普通年金又稱后付年金，是指各期期末收付的年金。如下圖所示：

（2）普通年金終值。

①普通年金終值的含義。

普通年金終值是指其最后一次收付時的本利和，它是每次收付的復(fù)利終值之和。

②普通年金終值的計算。

設(shè)每年的收付金額為A，利率為i。

3期普通年金終值F=A×（1+i）2+A×（1+i）+A

期數(shù)為n時：F=A+A×（1+i）+A×（1+i）2+…+A×（1+i）n-1 （a）

等式兩邊同時乘以（1+i）：

F×（1+i）=A×（1+i）+A×（1+i）2+A×（1+i）3+…+A×（1+i）n （b）

（b）-（a）：F×（1+i）-F=A×（1+i）n-A

F=A×［（1+i）n-1］/i

式中，［（1+i）n-1］/i為年金終值系數(shù)，記作（F/A，i，n），即F=A×（F/A，i，n）。

（3）普通年金現(xiàn)值。

①普通年金現(xiàn)值的含義。

普通年金現(xiàn)值是指為在每期期末收付相等金額的款項，現(xiàn)在需要投入或收取的金額。

②普通年金現(xiàn)值的計算。

3期普通年金現(xiàn)值P=A×（1+i）-1+A×（1+i）-2+A×（1+i）-3

期數(shù)為n時：P=A×（1+i）-1+A×（1+i）-2+A×（1+i）-3+…+A×（1+i）-n （a）

等式兩邊同乘（1+i）：

P×（1+i）=A+A×（1+i）-1+…+A×（1+i）-（n-1） （b）

（b）-（a）：P×（1+i）-P=A-A×（1+i）-n

P=A×［1-（1+i）-n］/i

式中，［1-（1+i）-n］/i為年金現(xiàn)值系數(shù)，記作（P/A，i，n），即P=A×（P/A，i，n）。

3．預(yù)付年金終值和現(xiàn)值

（1）預(yù)付年金的含義。

預(yù)付年金是指在每期期初收付的年金，又稱即付年金或期初年金。如下圖所示：

（2）預(yù)付年金終值的計算。

求解預(yù)付年金終值有兩種方法：

方法一：預(yù)付年金終值=同期的普通年金終值×（1+i）。

3期預(yù)付年金終值是0時點到2時點的年金在3時點的終值。在圖1的基礎(chǔ)上補充0′點，0′到2時點就可以看成是普通年金，因此0時點到2時點的年金在2時點的終值即為3期普通年金終值A(chǔ)×（F/A，i，3），其乘以（1+i）就可以折算到3時點，即為3期的預(yù)付年金終值，因此3期的預(yù)付年金終值=A×（F/A，i，3）×（1+i）。

若期數(shù)為n，預(yù)付年金終值=A×（F/A，i，n）×（1+i）。

方法二：預(yù)付年金終值=A×［（F/A，i，n+1）-1］。

在3時點補充一個年金A，0′點到3時點即為普通年金，其普通年金終值=A×（F/A，i，3+1），扣除3時點多加的年金A，即為預(yù)付年金終值，因此預(yù)付年金終值=A×（F/A，i，3+1）-A=A×［（F/A，i，3+1）-1］。

若期數(shù)為n，預(yù)付年金終值=A×［（F/A，i，n+1）-1］。

【總結(jié)】預(yù)付年金終值=A×（F/A，i，n）×（1+i）

或，預(yù)付年金終值=A×［（F/A，i，n+1）-1］。

（3）預(yù)付年金現(xiàn)值的計算。

求解預(yù)付年金現(xiàn)值有兩種方法：

方法一：預(yù)付年金現(xiàn)值=同期的普通年金現(xiàn)值×（1+i）。

在圖1的基礎(chǔ)上補充0′點，0′到2時點就可以看成是普通年金，因此0時點到2時點的年金在0′點的現(xiàn)值即為3期普通年金現(xiàn)值A(chǔ)×（P/A，i，3），其乘以（1+i）就可以折算到0時點，即為3期的預(yù)付年金現(xiàn)值，因此3期的預(yù)付年金現(xiàn)值=A×（P/A，i，3）×（1+i）。

若期數(shù)為n，預(yù)付年金現(xiàn)值=A×（P/A，i，n）×（1+i）。

方法二：預(yù)付年金現(xiàn)值=A×［（P/A，i，n-1）+1］。

先不考慮0時點的年金A，1時點到2時點的年金在0時點的現(xiàn)值即為2期的普通年金現(xiàn)值

A×（P/A，i，3-1），再加上0時點的年金A，即為預(yù)付年金現(xiàn)值，因此預(yù)付年金現(xiàn)值=A×（P/A，i，3-1）+A=A×［（P/A，i，3-1）+1］

若期數(shù)為n，預(yù)付年金現(xiàn)值=A×［（P/A，i，n-1）+1］。

4．遞延年金終值和現(xiàn)值

（1）遞延年金的含義。

遞延年金是指第一次收付發(fā)生在第二期或第二期以后的年金。如下圖所示：

（2）遞延年金終值的計算。

遞延年金終值的計算方法和普通年金終值一樣：

遞延年金終值=A×（F/A，i，n）

其中，n為年金A的個數(shù)。

（3）遞延年金現(xiàn)值的計算。

求解遞延年金現(xiàn)值有三種方法：

方法一：先補再扣。

前2年無收支，如果我們分別在1、2時點補充一個年金A，就構(gòu)成了6期的普通年金，此時年金現(xiàn)值合計為A×（P/A，i，2+4），而前2年實際無收支A，所以我們計算的總期數(shù)多了2期，要扣除前2年的年金現(xiàn)值才是我們求解的遞延年金現(xiàn)值，即A×（P/A，i，2+4）-A×（P/A，i，2），其中2為遞延期，4為連續(xù)收支期，即A的個數(shù)。

若遞延期為m，連續(xù)收支期為n，遞延年金現(xiàn)值=A×［（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）］。

方法二：先普再折。

把2時點看成0′時點，則遞延年金成了4期的普通年金，0′時點現(xiàn)值為A×（P/A，i，4），也就是2時點的價值，再折算到0時點即可，則0時點現(xiàn)值=A×（P/A，i，4）×（P/F，i，2）。

若遞延期為m，連續(xù)收支期為n，遞延年金現(xiàn)值=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）。

方法三：先終再現(xiàn)。

如果求解6時點的終值，將2時點看成0′時點，則遞延年金成了4期的普通年金，6時點的終值=A×（F/A，i，4），其實也就是遞延年金的終值，然后折算到0時點求解現(xiàn)值，即A×（F/A，i，4）×（P/F，i，2+4）。

若遞延期為m，連續(xù)收支期為n，遞延年金現(xiàn)值=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）。

5．永續(xù)年金現(xiàn)值

（1）永續(xù)年金的含義。

永續(xù)年金是指無限期定額收付的年金。永續(xù)年金沒有終止的時間，也就沒有終值。

（2）永續(xù)年金現(xiàn)值的計算。

永續(xù)年金的現(xiàn)值可以通過普通年金現(xiàn)值的計算公式推導(dǎo)出來：

P=A×［1-（1+i）-n］/i

當(dāng)n→∞時，（1+i）-n的極限為0，故上式可寫成：

P=A/i。

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