年金現(xiàn)值終值計算公式推導(dǎo)
精選回答
一.年金現(xiàn)值計算公式的推導(dǎo)
年金現(xiàn)值是將未來一定時期內(nèi)每期期末收入或支付的相等金額折算到第一期期初的現(xiàn)值之和。
設(shè)每年的支付金額為A，利率為i，期數(shù)為n，則年金現(xiàn)值P的公式為：
P=A×(P/A，i，n)
其中，(P/A，i，n)為年金現(xiàn)值系數(shù)，其推導(dǎo)過程如下：
年金現(xiàn)值PA的表達(dá)式為：
PA=A/(1+i)+A/(1+i)^2+A/(1+i)^3+…+A/(1+i)^n①
將等式兩邊同時乘以(1+i)，得到：
PA(1+i)=A+A/(1+i)+A/(1+i)^2+A/(1+i)^3+…+A/(1+i)^(n-1)②
用②式減去①式，得到：
PA(1+i)-PA=A-A/(1+i)^n
即：
PA×i=A-A/(1+i)^n
整理后得到：
PA=A[1-1/(1+i)^n]/i
因此，年金現(xiàn)值系數(shù)(P/A，i，n)的公式為：
(P/A，i，n)=[1-1/(1+i)^n]/i
二.年金終值計算公式的推導(dǎo)
年金終值是按復(fù)利換算到最后一期期末的終值之和。
設(shè)每年的支付金額為A，利率為i，期數(shù)為n，則年金終值F的公式為：
F=A+A(1+i)+A(1+i)(n-1)①
將等式兩邊同時乘以(1+i)，得到：
F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)n②
用②式減去①式，得到：
F(1+i)-F=A(1+i)^n-A
即：
F×i=A(1+i)^n-A
整理后得到：
F=A[(1+i)^n-1]/i
這個公式就是年金終值的計算公式，其中[(1+i)^n-1]/i為年金終值系數(shù)，記作(F/A，i，n)。
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