為了定量地衡量風(fēng)險大小，需要使用統(tǒng)計學(xué)中衡量概率分布離散程度的指標。表示隨機變量離散程度的量數(shù)，最常用的是方差和標準差。

方差是用來表示隨機變量與期望值之間離散程度的一個量，它是離差平方的平均數(shù)。標準差是方差的平方根。標準差是以均值為中心計算出來的，因而有時直接比較標準差是不準確的，需要剔除均值大小的影響。為了解決這個問題，引入了變異系數(shù)(離散系數(shù))的概念。變異系數(shù)是標準差與均值的比，它是從相對角度觀察的差異和離散程度，在比較相關(guān)事物的差異程度時直接比較標準差更好些。

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標準差，在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度上的測量。標準差定義是總體各單位標準值與其平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。它反映組內(nèi)個體間的離散程度。測量到分布程度的結(jié)果，原則上具有兩種性質(zhì)：

為非負數(shù)值，與測量資料具有相同單位。一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數(shù)的標準差之間，有所差別。

簡單來說，標準差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標準差，代表大部分數(shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數(shù)值較接近平均值。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測量時，測量數(shù)值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預(yù)測值，測量值的標準差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠（同時與標準差數(shù)值做比較），則認為測量值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測值是否正確。

標準差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標。標準差數(shù)值越大，代表回報遠離過去平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風(fēng)險越高。相反，標準差數(shù)值越小，代表回報較為穩(wěn)定，風(fēng)險亦較小。

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組合標準差計算方法

標準差公式是一種數(shù)學(xué)公式。標準差也被稱為標準偏差，或者實驗標準差，公式如下所示：

標準差σ=方差開平方。

樣本標準差=方差的算術(shù)平方根=s=sqrt(((x1-x)^2 +(x2-x)^2 +......(xn-x)^2)/(n-1))

總體標準差=σ=sqrt(((x1-x)^2 +(x2-x)^2 +......(xn-x)^2)/n )

注解：兩個標準差公式里的x為一組數(shù)(n個數(shù)據(jù))的算術(shù)平均值。當所有數(shù)(個數(shù)為n)概率性地出現(xiàn)時(對應(yīng)的n個概率數(shù)值和為1)，則x為該組數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

標準差的意義

標準差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標準差，代表大部分數(shù)值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差，代表這些數(shù)值較接近平均值。標準差小說明數(shù)據(jù)更加準確。

資本資產(chǎn)定價模型(CAPM)的圖示形式稱為證券市場線(SML)。它主要用來說明投資組合報酬率與系統(tǒng)風(fēng)險程度β系數(shù)之間的關(guān)系，以及市場上所有風(fēng)險性資產(chǎn)的均衡期望收益率與風(fēng)險之間的關(guān)系。

證券市場線是以Ep為縱坐標、βp為橫坐標的坐標系中的一條直線，方程為：E(ri)=rF+β(rM-rF)

其中，E(ri為期望(預(yù)期)收益率，rF為無風(fēng)險收益率，rM為第i種股票或第i種投資組合的必要報酬率，可將估算的市場期望收益率作為必要報酬率; (rM-rF)為風(fēng)險溢價。證券市場線很清晰地反映了風(fēng)險資產(chǎn)的預(yù)期報酬率與其所承擔的系統(tǒng)風(fēng)險β系數(shù)之間呈線性關(guān)系，充分體現(xiàn)了高風(fēng)險高收益的原則。

方差分析法是所獲得的數(shù)據(jù)按某些項目分類后，再分析各組數(shù)據(jù)之間有無差異的方法。例如給植物施用幾種肥料，調(diào)查分析作物產(chǎn)量在不同肥料處理之間有無真正的差異時一般常采用方差分析法。

通過各個數(shù)據(jù)資料之間所顯示的偏差與各組群資料中認為是屬于誤差范圍內(nèi)的偏差進行比較，來測驗各組資料之間有無顯著差異存在。通常用方差(variance)表示偏差程度的量，先求某一群體的平均值與實際值差數(shù)的平方和，再用自由度除平方和所得之數(shù)即為方差(普通自由度為實測值的總數(shù)減1)。

組群間的方差除以誤差的方差稱方差比，以發(fā)明者R.A.Fisher的第一字母F表示。將F值查對F分布表，即可判明實驗中組群之差是僅僅偶然性的原因，還是很難用偶然性來解釋。換言之，即判明實驗所得之差數(shù)在統(tǒng)計學(xué)上是否顯著。方差分析也適用于包含多因子的試驗，處理方法也有多種。在根據(jù)試驗設(shè)計所進行的實驗中，方差分析法尤為有效。

標準差計算公式是標準差σ=方差開平方。標準差，中文環(huán)境中又常稱均方差，是離均差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，用σ表示。在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度上的測量。標準差是方差的算術(shù)平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的兩組數(shù)據(jù)，標準差未必相同。

標準差系數(shù)，又稱為均方差系數(shù)，離散系數(shù)。它是從相對角度觀察的差異和離散程度，在比較相關(guān)事物的差異程度時較之直接比較標準差要好些。標準差系數(shù)是將標準差與相應(yīng)的平均數(shù)對比的結(jié)果。標準差和其他變異指標一樣，是反映標志變動度的絕對指標。

它的大小，不僅取決于標準值的離差程度，還決定于數(shù)列平均水平的高低。因而對于具有不同水平的數(shù)列或總體，就不宜直接用標準差來比較其標志變動度的大小，而需要將標準差與其相應(yīng)的平均數(shù)對比，計算標準差系數(shù)，即采用相對數(shù)才能進行比較。

方差是數(shù)據(jù)組中各數(shù)值與其均值離差平方的平均數(shù)，它能較好地反映出數(shù)據(jù)的離散程度，是實際中應(yīng)用最廣泛的離散程度測度值。方差越小，說明數(shù)據(jù)值與均值的平均距離越小，均值的代表性越好。

方差是反映數(shù)據(jù)離散程度的重要測度指標，但是其單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，沒有解釋意義。

標準差與方差計算比較簡便，又具有比較好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，是應(yīng)用最廣泛的統(tǒng)計離散程度的測度方法。但是標準差與方差只適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。此外，與均值一樣，它們對極端值也很敏感。

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資本市場線中，縱坐標是總期望報酬率、橫坐標是總標準差

根據(jù)：總期望報酬率=Q×風(fēng)險組合的期望報酬率+(1-Q)×無風(fēng)險利率

總標準差=Q×風(fēng)險組合的標準差

可知：

當Q=1時，總期望報酬率=風(fēng)險組合的期望報酬率，總標準差=風(fēng)險組合的標準差