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⑤普通年金終值

A=100、i=10%、n=5

F=A×[(1+i)ⁿ-1]/i

式中[(1+i)ⁿ-1]/i 為年金終值系數(shù)(教材附表3)

記作(F/A,i,n);n 為計算利息的期數(shù)。

【教材例2-10】2018年1月16日，某人制定了一個存款計劃，計劃從2019年1月16日開始，每年存入銀行10萬元，共計存款5次，最后一次存款時間是2023年1月16日。每次的存款期限都是1年，到期時利息和本金自動續(xù)存。假設(shè)存款年利率為2%，打算在2024年1月16日取出全部本金和利息。

【分析】本例中，“每次的存款期限是1年，到期時利息和本金自動續(xù)存”意味著是“復(fù)利按年計息”。所以：

2019年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)⁵

2020年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)⁴

2021年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)³

2022年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)²

2023年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)

在2024年1月16日取出的全部本金和利息

=10×(1+2%)+10×(1+2%)²+10×(1+2%)³+10×(1+2%)⁴+10×(1+2%)⁵

對照普通年金終值的公式

F=A×(F/A,i,n)=A+A(1+i)+A(1+i)²+…+A(1+i)^n-1

可知，本題并不是普通年金終值計算問題。但是可以間接利用普通年金終值計算公式。

由于,

10×(1+2%)+10×(1+2%)²+10×(1+2%)³+10×(1+2%)⁴

+10×(1+2%)⁵=[10+10×(1+2%)+10×(1+2%)²

+10×(1+2%)³+10×(1+2%)⁴]×(1+2%)

所以，在2024年1月16日取出的全部本金和利息=10×(F/A,2%,5)×(1+2%)=10×5.2040×1.02=53.08(萬元)

10×(F/A,2%,5)表示的是在2023年1月16日的全部本金和利息合計。

假設(shè)2018年1月16日為0時點，則本題的計算過程可以用圖示表示如下(見圖2-11)。

【例題·單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行一筆固定金額的款項，若按復(fù)利計算第n年末可以從銀行取出的本利和，則按最簡便的計算，應(yīng)選用的時間價值系數(shù)是(　　)。

A.復(fù)利終值系數(shù)

B.復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)

C.普通年金終值系數(shù)

D.普通年金現(xiàn)值系數(shù)⑥預(yù)付年金終值

【答案】C

【解析】利用年金終值公式計算最為簡便。

⑥預(yù)付年金終值

【方法一】n=5

【方法二】n=5

【教材例2-11】2018年1月16日，某人制定了一個存款計劃，計劃從2018年1月16日開始，每年存入銀行10萬元，共計存款5次，最后一次存款時間是2022年1月16日。每次的存款期限都是1年，到期時利息和本金自動續(xù)存。假設(shè)存款年利率為2%，打算在2023年1月16日取出全部本金和利息。

【分析】

2018年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)⁵

2019年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)⁴

2020年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)³

2021年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)²

2022年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)

在2023年1月16日取出的本部本金和利息

=10×(1+2%)+10×(1+2%)²+10×(1+2%)³+10×(1+2%)⁴+10×(1+2%)⁵

對照預(yù)付年金終值F=A×(F/A，i，n)×(1+i)

=A(1+i)+A(1+i)²+……+A(1+i)ⁿ可知：

在2023年1月16日取出的全部本金和利息

=10×(F/A，2%，5)×(1+2%)=10×5.2040×1.02=53.08(萬元)

【提示】如果本題要求計算在2022年1月16日取出的全部本金和利息，則按照10×(F/A,2%,5)計算。

【例題·多選題】下列各項中，其數(shù)值等于即付年金終值系數(shù)的有(　　)。

A.(P/A，i，n)×(1+i)

B.[(P/A，i，n-1)+1]

C.(F/A，i，n)×(1+i)

D.[(F/A，i，n+1)-1]

【答案】CD

【解析】選項C、D是預(yù)付年金終值系數(shù)的表達式。

⑦遞延年金終值

(4)年償債基金和年資本回收額

①償債基金的計算

A=F/(F/A，i，n)

償債基金系數(shù)1/ (F/A，i，n)

與年金終值系數(shù)(F/A，i，n)

互為倒數(shù)

【教材例2-13】某家長計劃10年后一次性取出50萬元，作為孩子的出國費用。假設(shè)銀行存款年利率為5%，復(fù)利計息，該家長計劃1年后開始存款，每年存一次，每次存款數(shù)額相同，共計存款10次。

【分析】假設(shè)每次存款的數(shù)額為A萬元，則有：

A×(F/A，5%，10)=50

A×12.578=50

A=3.98萬元

②資本回收額的計算

A=P/(P/A，i，n)

資本回收系數(shù)1/(P/A，i，n)

與年金現(xiàn)值系數(shù)(P/A，i，n)

互為倒數(shù)

【教材例2-14】某人于20×8年1月25日按揭貸款買房，貸款金額為100萬元，年限為10年，年利率為6%，月利率為0.5%，從20×8年2月25日開始還款，每月還一次，共計還款120次，每次還款的金額相同。

【分析】由于100萬元是現(xiàn)在的價值，所以，本題屬于已知普通年金現(xiàn)值求年金，屬于年資本回收額計算問題。

假設(shè)每次還款金額為A萬元，則有：

100=A×(P/A，0.5%，120)

A=100÷(P/A，0.5%，120)

其中(P/A，0.5%，120)的數(shù)值無法在教材后面的附表中查到，可以根據(jù)(P/A，i，n)的數(shù)學(xué)表達式用計算器或計算機計算。計算結(jié)果

(P/A，0.5%，120)=90.08，所以：

A=100÷90.08=1.11(萬元)

即每月的還款額為1.11萬元。

【例題·單選題】下列各項中，與普通年金終值系數(shù)互為倒數(shù)的是(　　)。

A.預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)

B.普通年金現(xiàn)值系數(shù)

C.償債基金系數(shù)

D.資本回收系數(shù)

【答案】C

【解析】償債基金系數(shù)與普通年金終值系數(shù)互為倒數(shù)，選項C正確。

【例題·多選題】下列關(guān)于資金時間價值系數(shù)關(guān)系的表述中，正確的有(　　)。

A.普通年金現(xiàn)值系數(shù)×資本回收系數(shù)=1

B.普通年金終值系數(shù)×償債基金系數(shù)=1

C.普通年金現(xiàn)值系數(shù)×(1+折現(xiàn)率)=預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)

D.普通年金終值系數(shù)×(1+折現(xiàn)率)=預(yù)付年金終值系數(shù)

【答案】ABCD

【解析】本題考察資金時間價值系數(shù)之間的聯(lián)系，選項ABCD均正確。

知識點3　利率的計算

【原理】直線上的三個點任意兩點橫坐標差額之比與對應(yīng)縱坐標差額之比相等。(相似三角形線性等比關(guān)系)

【應(yīng)用】假設(shè)利率與系數(shù)、現(xiàn)值、終值存在線性關(guān)系

(一)現(xiàn)值或終值系數(shù)已知的利率計算

步驟如下：

1.查閱相應(yīng)的系數(shù)表，如果能在系數(shù)表中查到相應(yīng)的數(shù)值，則對應(yīng)的利率就是所求的利率。

2.如果在系數(shù)表中無法查到相應(yīng)的數(shù)值，則可以使用內(nèi)插法(也叫插值法)計算。

假設(shè)所求利率為i，i對應(yīng)的現(xiàn)值(或者終值)系數(shù)為B，B₁、B₂為現(xiàn)值(或者終值)系數(shù)表中B相鄰的系數(shù)，i₁、i₂為B₁、B₂對應(yīng)的利率。

【提示】在寫線性等比關(guān)系式時，也可以改變數(shù)字順序，只要左右保持對稱(保持參數(shù)對應(yīng)關(guān)系)，計算的結(jié)果均是正確的。

【教材例2-15】已知(P/F，i，5)=0.7835，求i的數(shù)值。

【分析】查閱復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表可知，在期數(shù)為5的情況下，利率為5%的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)為0.7835，所以，i=5%。