考點(diǎn)二：期權(quán)價(jià)值的確定

【例題·計(jì)算題】D公司是一家上市公司，其股票于2019年7月1日的收盤價(jià)為每股40元。有一種以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為42元，到期時(shí)間是3個(gè)月。3個(gè)月以內(nèi)公司不會(huì)派發(fā)股利，3個(gè)月以后股價(jià)有2種變動(dòng)的可能：上升到46元或者下降到30元。國庫券利率為4%（年名義利率）。

【要求】

（1）利用風(fēng)險(xiǎn)中性原理，計(jì)算D公司股價(jià)的上行概率和下行概率，以及看漲期權(quán)的價(jià)值。

（2）利用套期保值原理，計(jì)算看漲期權(quán)的股價(jià)上行時(shí)到期日價(jià)值、套期保值比率。

（3）利用復(fù)制原理，計(jì)算借款數(shù)額和看漲期權(quán)的價(jià)格。

（4）根據(jù)第（3）問的計(jì)算結(jié)果，若有一種以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為42元，到期時(shí)間是3個(gè)月，計(jì)算看跌期權(quán)價(jià)格。

（5）根據(jù)（3）、（4）問的計(jì)算結(jié)果，若甲投資人購入1股D公司的股票，同時(shí)購入該股票的1份看跌期權(quán)，判斷甲投資人采取的是哪種投資策略，并根據(jù)預(yù)計(jì)的股票價(jià)格變動(dòng)情況，確定該投資人的投資組合收益為多少？并確定投資人不至于虧損的股價(jià)變動(dòng)范圍。

（6）根據(jù)（3）、（4）問的計(jì)算結(jié)果，投資者希望將凈損益限定在有限區(qū)間內(nèi)，應(yīng)選擇哪種投資組合？該投資組合應(yīng)該如何構(gòu)建?根據(jù)預(yù)計(jì)的股票價(jià)格變動(dòng)情況，確定該投資人的投資組合收益為多少。并確定投資人不至于虧損的股價(jià)變動(dòng)范圍。

（7）若目前看漲期權(quán)價(jià)格為3元，根據(jù)第（2）、（3）問的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)根據(jù)套利原理，構(gòu)建一個(gè)套利組合進(jìn)行套利。

（8）如果該看漲期權(quán)的現(xiàn)行價(jià)格為2.4元，根據(jù)第（2）、（3）問的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)根據(jù)套利原理，構(gòu)建一個(gè)投資組合進(jìn)行套利。

（9）如果該看漲期權(quán)的現(xiàn)行價(jià)格為2.4元，計(jì)算其多頭到期凈損益的兩種可能性。

【答案】

（1）上升百分比=（46-40）/40 =15%

下降變動(dòng)率=（30-40）/40=-25%

期利率=4%/4=1%

1%=p×15%+（1-p）×（-25%）

上行概率p=0.65，下行概率（1-p）=0.35

C_u=46-42=4（元），Cd=0

看漲期權(quán)價(jià)值=（4×0.65）/（1+1%）=2.57（元）

（2）C_u=46-42=4（元），C_d=0

套期保值比率=（4-0）/（46-30）=0.25

（3）借款額=0.25×30/（1+1%）=7.43（元）

看漲期權(quán)價(jià)格=0.25×40-7.43=2.57（元）

（4）看跌期權(quán)價(jià)格=2.57+42/（1+1%）-40=4.15（元）

（5）甲投資人采取的是保護(hù)性看跌期權(quán)。

若股票價(jià)格下降到30元，投資凈損益=42-40-4.15=-2.15（元）

若股票價(jià)格上漲到46元，投資凈損益=46-40-4.15=1.85（元）。

股票價(jià)格為S_T，S_T-40-4.15＞0，所以股票價(jià)格高于44.15，投資人不會(huì)虧損。

（6）①選擇拋補(bǔ)看漲期權(quán)組合；

②拋補(bǔ)性看漲期權(quán)組合的構(gòu)建方法是購買1股股票，并賣空1份以該股票為標(biāo)的的看漲期權(quán)；

③若股票價(jià)格下降到30元，投資凈損益=30-40+2.57=-7.43（元）

若股票價(jià)格上漲到46元，投資凈損益=42-40+2.57=4.57（元）。

設(shè)股價(jià)降到S_T

S_T－40＋2.57＞0，S_T＞37.43

（7）由于目前看漲期權(quán)價(jià)格為3元高于2.57元，所以存在套利空間。套利組合應(yīng)為：出售1份看漲期權(quán)，借入7.43元，買入0.25股股票，可套利0.43元。

（8）由于目前看漲期權(quán)價(jià)格為2.4元，低于2.57元，所以存在套利空間。套利組合應(yīng)為：購買1股看漲期權(quán)，同時(shí)賣空0.25股股票，貸出7.43元，可套利0.17元。

（9）股票價(jià)格上漲到46元：

到期凈損益=（46-42）-2.4=1.6

股票價(jià)格下跌到30元時(shí)：

到期凈損益=-2.4。