協(xié)方差和方差是概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中兩個(gè)密切相關(guān)的概念，它們都用于衡量隨機(jī)變量的離散程度或變化性。

1. 定義上的關(guān)系

(1)方差：衡量一個(gè)隨機(jī)變量與其均值的偏離程度。對于隨機(jī)變量 XX，其方差定義為：Var(X)=E[(X?μX)^2].

其中，μX=E[X] 是X的期望值(均值)。方差總是非負(fù)的，值越大表示數(shù)據(jù)越分散。

(2)協(xié)方差：衡量兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。對于隨機(jī)變量X和Y，其協(xié)方差定義為：Cov(X,Y)=E[(X?μX)(Y?μY)]。

協(xié)方差可以為正、負(fù)或零：

①正值表示X和Y傾向于同向變化(一個(gè)增大，另一個(gè)也增大)。

協(xié)方差，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)概念，用于衡量兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系強(qiáng)度和方向。具體來說，它描述了兩個(gè)變量如何一起變化：當(dāng)一個(gè)變量增加時(shí)，另一個(gè)變量是傾向于增加、減少還是沒有明顯的變化趨勢。其計(jì)算公式根據(jù)數(shù)據(jù)類型（總體或樣本）有所不同。

1. 總體協(xié)方差公式：當(dāng)數(shù)據(jù)代表整個(gè)總體時(shí)，公式為，

N：總體數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

xi,yi：第i個(gè)樣本點(diǎn)的取值；

μX,μY：X和 Y的總體均值。

2. 樣本協(xié)方差公式：當(dāng)數(shù)據(jù)是從總體中抽取的樣本時(shí)，公式為，

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)都是用來衡量兩個(gè)變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量，但它們在定義、計(jì)算方式以及實(shí)際應(yīng)用中存在一些重要區(qū)別。

1.定義

(1)協(xié)方差表示兩個(gè)變量之間的總體誤差。換句話說，它描述了兩個(gè)變量如何共同變化。

(2)相關(guān)系數(shù)是一種標(biāo)準(zhǔn)化的協(xié)方差，它消除了兩個(gè)變量量綱的影響，用于度量兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度。

2.取值范圍

(1)協(xié)方差的結(jié)果可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，正的協(xié)方差表示兩個(gè)變量傾向于同向變動(即一個(gè)變大另一個(gè)也變大)，負(fù)的協(xié)方差表示兩個(gè)變量傾向于反向變動。

(2)相關(guān)系數(shù)的取值范圍固定在-1到1之間。1表示完全正相關(guān)，-1表示完全負(fù)相關(guān)，0表示沒有線性相關(guān)關(guān)系。

協(xié)方差（ covariance ）研究兩個(gè)隨機(jī)變量的變動，可以體現(xiàn)投資組合中兩項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率的共同變動情況（ 即兩者變動的相互關(guān)系），而不是獨(dú)立考察每一項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率自身的變動情況。

例如：

· 如果兩只股票的預(yù)期報(bào)酬率趨于反向變動，則其協(xié)方差為負(fù)。

· 如果兩只股票的預(yù)期報(bào)酬率趨于同向變動，則其協(xié)方差為正。

· 如果兩只股票預(yù)期報(bào)酬率的變動互不相干，則其協(xié)方差為零。

隨著投資者組合中的資產(chǎn)數(shù)量逐漸增加，資產(chǎn)兩兩之間的協(xié)方差變得越來越重要。資產(chǎn)收益率兩兩之間共同變動的程度越低，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)越低。

假設(shè)x 和y 均為隨機(jī)變量，兩者之間的協(xié)方差記做：Covxy或σxy

一、協(xié)方差的性質(zhì)

若兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則E[（X-E（X））（Y-E（Y））]=0，因而若上述數(shù)學(xué)期望不為零，則X和Y必不是相互獨(dú)立的，亦即它們之間存在著一定的關(guān)系。

協(xié)方差與方差之間有如下關(guān)系：

D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X，Y）

D（X-Y）=D（X）+D（Y）-2Cov（X，Y）

協(xié)方差與期望值有如下關(guān)系：

Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）。

一、協(xié)方差的意義

協(xié)方差在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用于衡量兩個(gè)變量的總體誤差。而方差是協(xié)方差的一種特殊情況，即當(dāng)兩個(gè)變量是相同的情況。協(xié)方差表示的是兩個(gè)變量的總體的誤差，這與只表示一個(gè)變量誤差的方差不同。

二、協(xié)方差計(jì)算公式

COV（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）。E（X）為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，E（XY）是XY的數(shù)學(xué)期望。

變量間相關(guān)的關(guān)系：一般有三種：正相關(guān)、負(fù)相關(guān)和不相關(guān)。

正相關(guān)：假設(shè)有兩個(gè)變量x和y，若x越大y越大；x越小y越小，則x和y為正相關(guān)。

負(fù)相關(guān)：假設(shè)有兩個(gè)變量x和y，若x越大y越??；x越小y越大，則x和y為負(fù)相關(guān)。

一、協(xié)方差相關(guān)系數(shù)為0說明什么

1.協(xié)方差表示的是兩個(gè)變量總體誤差的期望。

如果X與Y是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，那么二者之間的協(xié)方差就是0。但是，反過來并不成立。即如果X與Y的協(xié)方差為0，二者并不一定是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。協(xié)方差Cov（X，Y）的度量單位是X的協(xié)方差乘以Y的協(xié)方差。協(xié)方差為0的兩個(gè)隨機(jī)變量稱為是不相關(guān)的。

2.相關(guān)系數(shù)（-1≤r≤1）：衡量兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度。

相關(guān)系數(shù)等于兩項(xiàng)資產(chǎn)的協(xié)方差/兩項(xiàng)資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差之積。

相關(guān)系數(shù)=1，說明兩個(gè)資產(chǎn)完全正相關(guān)；0<相關(guān)系數(shù)<1，說明兩個(gè)資產(chǎn)正相關(guān)；-1<相關(guān)系數(shù)<0，說明兩個(gè)資產(chǎn)負(fù)相關(guān)；相關(guān)系數(shù)=-1，說明兩個(gè)資產(chǎn)完全負(fù)相關(guān)；相關(guān)系數(shù)=0，說明兩個(gè)資產(chǎn)無線性關(guān)系。

二、協(xié)方差計(jì)算公式

1.相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差一定是在投資組合中出現(xiàn)的，只有組合才有相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差。單個(gè)資產(chǎn)是沒有相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差之說的。

2.相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差的變動方向是一致的，相關(guān)系數(shù)是負(fù)的，協(xié)方差一定是負(fù)的。

3.相關(guān)系數(shù)是變量之間相關(guān)程度的指標(biāo)，根據(jù)協(xié)方差的公式可知，協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的正負(fù)號相同，但是協(xié)方差是相關(guān)系數(shù)和兩證券的標(biāo)準(zhǔn)差的乘積，所以協(xié)方差表示兩種證劵之間共同變動的程度。

協(xié)方差計(jì)算公式

COV（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）。EX為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，EXY是XY的數(shù)學(xué)期望。協(xié)方差在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用于衡量兩個(gè)變量的總體誤差。而方差是協(xié)方差的一種特殊情況，即當(dāng)兩個(gè)變量是相同的情況。

變量間相關(guān)的關(guān)系

一般有三種：正相關(guān)、負(fù)相關(guān)和不相關(guān)。